ماذا تعرف عن الجبر ؟

الجبر





الجََــبْــر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم.

ويُرمَز للأعداد المجهولة في الجبر بحروف مثل س أو ص. وفي بعض المسائل يمكن استبدال عدد واحد فقط بالرمز. وكمثال بسيط نلاحظ أنه حتى تصبح الجملة س + 3 = 8 صحيحة فيجب أن نعوّض عن س بالعدد 5 وذلك لأن 5 + 3 = 8.

أمّا في بعض المسائل الأخرى فإنه يمكن التعويض عن الرمز بعدد أو أكثر. على سبيل المثال، حتى نحقق صحة الجملة الجبرية س + ص = 12 قد نضع س تساوي 6 وص تساوي 6، أو س تساوي 4، و ص تساوي 8. في مثل هذه الجمل الجبرية، تستطيع الحصول على قيم عديدة لـ س تجعل الجمل صحيحة إذا أعطيْتَ لـ ص قيمًا مختلفة.

ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط. فعلى سبيل المثال لنفرض أن طائرة تقطع مسافة 1,710كم في أربع ساعات إذا كان الطيران في اتجاه هبوب الريح ولكنها تقطع 1,370 كم في خمس ساعات إذا كان الطيران بعكس اتجاه هبوب الريح. باستخدام الجبر نستطيع أن نجد سرعة الطائرة وسرعة الريح.





تعلُّم الجبر



يرمز العدد في الحساب لمجموعة تحتوي على ذلك العدد من الأشياء، فمثلاً العدد 5 دائمًا يرمز لمجموعة تحتوي على 5 أشياء. أما في الجبر فإن الرموز قد تُستبدل بالأعداد، غير أنه من الممكن أن يحل عدد أو أكثر محل رمز واحد. وحتى نتعلم الجبر يجب علينا أن نتعلّم أولاً كيف تُستخدم الرموز محل الأعداد. ومن ثم كيفية إنشاء الجمل الجبرية عن الأعداد.


المجموعات والمتغيرات. هناك علاقة بين الرموز في الجبر ومجموعات الأعداد. فمن المؤكد أن لكل منا بعض الإلمام بمجموعات الأشياء، مثل مجموعات الكتب، ومجموعات الطوابع البريدية، ومجموعات الصحون. ومجموعات الأعداد لاتختلف عن هذه المجموعات كثيراً. وإحدى الطرق لوصف مجموعات الأعداد في الجبر هي أنْ نقوم باستخدام أحد الحروف الأبجدية مثل ص كاسم لها. ثم نصف أعداد هذه المجموعة بحصرها بين قوسين من الشكل { }. فمثلاً يمكن التعبير عن مجموعة الأرقام من 1 إلى 9 كالتالي:

أ = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9} .

أما مجموعة الأعداد الفردية التي تقل عن 20 فهي:

ب = {1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19}.

وهذان المثالان يبينان نماذج من المجموعات المستخدمة في الجبر.

لنفترض أن أعمار أربعة أشخاص كانت على التوالي: 12، 15، 20، 24 عاما.

عندها يمكن كتابة هذه الأعمار كمجموعة أعداد.

أ = {12، 15، 20، 24}.






كم يكون عمر كل منهم بعد ثلاث سنوات ؟


إنّ إحدى طرق الإجابة على هذا السّؤال تكون بأن نكتب 12 + 3، 15 + 3، 20 + 3 و 24 + 3. نلاحظ أن العدد 3 مكرر في كل من ¸الصيغ• الأربع. في الجبر نستطيع أن نعبر عن جميع الصيغ السابقة بصيغة مهمة واحدة هي م + 3 حيث م هو أي عدد من أعداد المجموعة أ. أي أنه يمكن استبدال أي من الأعداد 12، 15، 20 أو 24 بالرمز م. ويُسمّى الرمز م المتغيِّر، وتُسمَّى المجموعة أ مجال هذا المتغير، أما العدد 3 في الصيغة م + 3 فيسمى الثابت وذلك لأن قيمته واحدة دائما. ويُعرّف المتغيِّر في الجبر بأنه رمز يمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر ينتمي إلى مجموعة .


التقارير والمعادلات. يُعرَف التقرير في الرياضيات بأنه جملة خبرية قد تكون صائبة أو خاطئة. وبمقدورنا تمثيل التقارير الرياضية بلغتنا اليومية وأمامنا هنا تقرير ناقص:

إن ....... هو الذي اخترع جهاز الهاتف. هذه العبارة ليست صائبة وليست خاطئة. ولكن لو وضعنا كلمة بل في الفراغ نحصل على العبارة "إن بل هو الذي اخترع جهاز الهاتف" وهذه العبارة صائبة. من الممكن أيضاً أن نستخدم متغيرًا لكتابة تقرير، كأن نكتب:

¸ص دولة يحدها البحر الأسود•

فنحن نستطيع أن نعوض عن المتغير ص بعناصر مجاله. أي نستطيع استبدال أسماء تؤدي إلى تقارير صائبة أو تقارير خاطئة بالمتغيِّر. فمثلاً:

¸المجر دولة يحدها البحر الأسود• تقرير خاطئ، إذ في الواقع لايكون مثل هذا التقرير صائبًا إلا إذا عوضنا عن المتغير ص بإحدى الدول: بلغاريا أو رومانيا، أو تركيا. فيكون التقرير ¸تركيا دولة يحدها البحر الأسود• مثلا صائبًا. وتسمى التعويضات التي تجعل التقرير صائبا جذوراً وتُسمّى المجموعة المكونة من جميع الجذور بمجموعة الحل. ومجموعة حل المثال السابق هي.{بلغاريا، رومانيا، تركيا}. وفي الجبر لانستخدم الأسماء للتعويض عن المتغيرات ولكن نستخدم الأعداد.

وتُعرف المعادلات على أنها جمل رياضية تعبر عن تساوي صيغتين. فالعبارة:

س + 7 = 12

على سبيل المثال، معادلة سهلة تعني ¸حاصل جمع العدد 7 مع عدد ما يساوي12•. ولحل هذه المعادلة نستطيع أن نقوم بالتعويض عن س بأعداد مختلفة حتى نحصل على عدد يجعل من المعادلة تقريراً صائبًا. فإذا عوضنا عن س بالعدد 5 تصبح المعادلة تقريرًاً صائبًا، وإذا عوضنا عن س بأي عدد آخر فإن المعادلة تصبح تقريرًا خاطئاً. إذن مجموعة حل هذه المعادلة هي {5} وهذه المجموعة تحتوي على جذر واحد فقط.





ومن الممكن أن يكون للمعادلة أكثر من جذر:

س ² + 18 = 9 س.

العــدد 2 أعــلى المتغيـر الأول س يعني أن العدد الممثل بالمتغير س هـو عــدد مربع، أي أنه عــدد مضروب في نفسـه مــرة واحدة. انظر: المربع. وفي هذه المعادلة نستطيع أن نعوض عن س بالعدد 3:

3 × 3 + 18 = 9 × 3

9 + 18 = 27

27 = 27

ونستطيع أيضا أن نعوض عن س بالعدد 6:

6 × 6 + 18 = 9 × 6

36 + 18 = 54

54 = 54

أمّا أي تعــويض آخـــر عن س فيجعــل المعادلة تقريراً خاطئاً. إذن 3 و 6 هما جذرا المعادلة. ومن ثم فإن مجموعة الحل هي {3 ، 6}.

كذلك توجد معادلات ليس لها جذور:

س = س + 3

إذا عوضنا عن س بأي عدد، فإن هذه المعادلة تصبح تقريراً خاطئاً، ومجموعة حلها تسمى المجموعة الخالية ويرمز لها بالرمز { }.

ولبعض المعادلات عدد غير منته (لامحدود) من الجذور.

(س + 1)² = س² + 2 س + 1

في هذه المعادلة إذا عوضنا عن س بأي عدد فإننا نحصل على تقرير صائب،مجموعة حلها تحتوي على جميع الأعداد